Frage zu Mathebeweis

Die Summe von 4 bzw. 5 Quadratzahlen ist definitiv eine Summe nach Definition der Terminologie "Summe".

?(

Original von swizz
Hall,

ich hätte mal eine Frage.

Ich soll zeigen, dass die Summe von 4 bzw. 5 aufeinanderfolgenden Quadratzahlen keine Quadratzahl ist.

Ich bin soweit, dass ich bewiesen habe, dass bei Division von Quadratzahlen durch 4 der Rest 1 oder 0 bleibt. Wenn man 4 Aufeinanderfolgende hat, dann bleibt bei einzelner Division durch 4 zweimal der Rest 1 (bei Zahlen mit ungerade Basis) und zweimal Null (bei gerader Basis), wenn man die Summe Dividiert müsste demzufolge der Rest zwei kommen. Das ist ein Widerspruch, dass nur die Reste 1 und 0 möglich sind, also ist die Zahl keine Quadratzahl. Ich bin jetzt aber überfordert, dass formal aufzuschreiben.

Kann mir da jemand helfen?

Sorry

Original von swizz
Bei Division von Quadratzahlen durch 4 bleibt Rest 1 oder 0. Wenn man 4 Aufeinanderfolgende Quadratzahlen betrachtet, dann bleibt bei Division durch 4 zweimal der Rest 1 (bei Zahlen mit ungerade Basis) und zweimal Null (bei gerader Basis), in der Summe demzufolge der Rest 2. Also ist die Summe keine Quadratzahl.

Habs mal formal aufgeschrieben....

Ich checks trotzdem net. Du sollst zeigen dass was NICHT gilt ... also einfach Gegenbeispiel:

4 + 9 + 16 + 25 = 54 /= Quadratzahl

Original von PowerGamer
Ich checks trotzdem net. Du sollst zeigen dass was NICHT gilt ... also einfach Gegenbeispiel:

4 + 9 + 16 + 25 = 54 /= Quadratzahl

Das ist ein Beispiel für die These.

Soll wohl zeigen, dass es nie gilt, da reicht der Gegenbeweis dann natürlich nicht.
Angenommen das mit dem Rest 1 oder 0 stimmt, würde ich den Beweis auch so formulieren wie crt32 es geschrieben hat.

Achso

- Aber wieso soll das überhaupt was mit den Resten zu tun haben?
- Und wo steht was crt32 geschrieben hat? ^^

a, b, c, d seien Quadratzahlen. Jetzt gilt angeblich, dass wenn du eine Quadrahtzahl durch 4 teilst, immer als Rest 1 oder 0 überbleibt, also a mod 4 = 1 v 0. Anscheinend wechselt sich das immer ab, damit gilt dann a+b+c+d mod 4 = 2 =/= 1 v 0, also ist die Summe keine Quadratzahl.

crt32 hat swizzs Quote gefixt und leicht die Wortwahl geändert. Man kann aber wohl auch meine Formulierung verwenden, sollte nur nicht "angeblich" und "anscheinend" verwenden.

Das ist aber obv. nur n Beweis wenn die beiden Annahmen "Rest / 4 = 0 oder 1" und "Nach Rest 0 kommt Rest 1" irgendwo in Buch / Skript stehen oder man die auch beweisen kann.

edit

Original von PowerGamer
Das ist aber obv. nur n Beweis wenn die beiden Annahmen "Rest / 4 = 0 oder 1" und "Nach Rest 0 kommt Rest 1" irgendwo in Buch / Skript stehen oder man die auch beweisen kann.

Hat OP zumindest geschrieben, bin davon ausgegangen er zitiert hier sein Skript.

Die typische Herangehensweise ist mit (n-1) zu starten.

Dann eben (n-1)² + n² + (n+1)² + (n+2)² = (2n+1)²+5 = m²

m muss gerade sein ...

sry hatte überlesen dass du es schon gelöst hattest habe es dir mal aufgeschrieben...

Allgemein e^2 mod 4 = {0 wenn e gerade, 1 wenn e ungerade} ((2i)^2=4i^2=0mod4, (2i+1)^2=4i^2+4i+1=1mod4)
Angenommen a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2=c^2
Dann a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2 mod 4 = 2 mod 4 (wenn a gerade oder ungerade) = c^2 mod 4 = 0 oder 1 mod 4, ein widerspruch.

Hey das gab ja viele Antworten.

Die Aufgabe ist so aufgebaut, dass man am Anfang ein paar Quadratzahlen berechnet und sieht, dass bei Quadratzahlen mit gerader Basis immer der Rest 0 bleibt, bei Quadratzahlen mit ungerader Basis immer der Rest 1. Das wird in der Aufgabe bewiesen und man soll dann damit argumentieren.

Ich habe das mit den 4 Quadratzahlen jetzt so gemacht.

Summe von vier aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist S. a e N

S = a²+(a+1)²+(a+2)²+(a+3)²
=a²+(a²+2a+1²)+(a²+4a+2²)+(a²+6a+3²)
=4a²+12a+14
=4a²+12a+4*3+2

Der Ausdruck 4a²+12a+4*3 ist durch 4 teilbar, bei S/4 bleibt also der Rest 2. Da der Rest ungleich 0 oder 1 ist folgt aus dem vorherigen Beweis, dass S keine Quadratzahl ist.

Jemand eine Idee, wie es bei 5 aufeinanderfolgenden Zahlen geht? Wie bei 4 geht es nicht, weil man auf 5a^2 kommen würde und das nicht mehr durch 4 teilbar ist.

Zum Thema mit den 5 aufeinanderfolgenden QZ:

Mit (n-2)² + ... + (n+2)² = 5n² + 10 = 5(n²+2) = m²

Dann ist n Teiler von m, dann n = 5m --> n² + 5 = 5m

Wenn buccaneers richtig gerechnet hat
(n-2)² + ... + (n+2)² = 5n² + 10 = 5(n²+2)
(hab ich nicht überprüft), ist klar, dass bei Division durch 4 nie der Rest 0 oder 1 bleibt (und somit keine Quadratzahl ist).