Laddove qualcuno fosse interessato a comprendere più a fondo la questione delle formule relative al calcolo del valore atteso delle quali si è parlato, vorrei fornire un mio personale contributo che abbia l'obiettivo di fare un po di chiarezza riguardo le equazioni che sono state menzionate.
Più specificatamente volevo dimostrare che
1. EV = Pfold * POT + (1 - Pfold) * (pWin * (Vincita) (1pWin)*INVESTIMENTO)
2. EV = Pfold * POT + (1 - Pfold) * (Equity * (Vincita + INVESTIMENTO) - INVESTIMENTO)
3. EV = Pfold*POT ATTUALE + (1-Pfold)*(Equity*POT FINALE - INVESTIMENTO)
unitamente a:
4. EV = Pfold*POT + (1-Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL) - (1- Equity)*INVESTIMENTO)
rappresentano in realtà sempre la stessa formula scritta in modo differente la cui derivazione è di fatto abbastanza semplice.
Personalmente ho sempre utilizzato la formula del valore atteso costruendomela "ad hoc" in base all'utilizzo che intendevo farne senza cercare di usare "formule precotte" che data la presenza di numerose variabili spesso inducono all'errore.
Il principio generale dal quale partire per la comprensione dell'argomento è, come accennavo poc'anzi, banale.
In sostanza la formula si calcola sempre a partire da una considerazione che esprimerò ora in modo divulgativo e semplificato con buona pace dei "puristi" in materia.
La considerazione è la seguente:
Il valore atteso all'atto di un mio raise, è calcolato sommando
(*)
(La percentuale delle volte in cui oppo folda)*(L'importo che vinco quando oppo folda)
+
(La percentuale delle volte in cui oppo non folda)*(L'importo che vinco quando oppo non folda)
Seguendo lo stesso principio posso sviluppare il secondo fattore del secondo membro ed otterò quindi che:
(L'importo che vinco quando oppo non folda) è uguale a:
(la percentuale delle volte in cui vinco)*(L'importo che vinco quando oppo non folda)
-
(la percentuale delle volte in cui perdo)*(L'importo che perdo ossia l'importo del mio raise)
A questo punto se indichiamo con Pfold La percentuale delle volte in cui oppo folda avremo che 1-Pfold rappresenta la percentuale delle volte in cui oppo non folda (la somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale ad 1)
Allo stesso modo indicando con Equity la percentuale delle volte in cui vinco quando oppo non folda, avremo che 1-Equity rappresenta la percentuale delle volte in cui perdo quando oppo non folda.
Detto ciò, per scrivere la formula ci basta esplicitare gli scalari che rappresentano le somme che vinco o perdo nelle varie situazioni.
Indicando con:
POT il valore del piatto prima del mio raise
OPPO_CALL l'importo equivalente al call di oppo
INVESTIMENTO l'importo del mio raise
posso procedere facilmente a derivare questi scalari ottenendo:
POT = L'importo che vinco quando oppo folda
POT + OPPO_CALL = L'importo che vinco quando oppo non folda
INVESTIMENTO = L'importo che perdo ossia l'importo del mio raise
Sostituendo questi termini nella formula del valore atteso (*) ottengo quindi
(**)
EV = Pfold*POT + (1-Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL) - (1-Equity)*INVESTIMENTO)
(per intenderci la quarta formula richiamata in incipit del post)
A questo punto ci rimane da dimostrare che le altre 3 formule sono in effetti la rappresentazione della stessa equazione espressa in maniera differente.
Per fare questo esplicitiamo tutti i termini che compaiono nelle altre equazioni in base a quelli da noi calcolati. Avremo dunque:
pWin = Equity
Vincita = POT + OPPO_CALL
POT ATTUALE = POT
POT FINALE = POT + OPPO_CALL + INVESTIMENTO
Operando le sostituzioni nell'equazione 1. otteniamo:
EV = Pfold*POT + (1 - Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL) - (1-Equity)*INVESTIMENTO)
che coincide esattamente con l'equazione (**)
Se operiamo adesso le sostituzioni nell'equazione 2. otterremo
EV = Pfold*POT + (1 - Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL + INVESTIMENTO) - INVESTIMENTO) (***)
Sviluppando il prodotto presente nel secondo addendo otteniamo:
EV = Pfold*POT + (1 - Pfold)*(Equity*POT + Equity*OPPO_CALL + Equity*INVESTIMENTO - INVESTIMENTO)
Se adesso nel moltiplicatore del secondo addendo mettiamo in evidenza
Equity tra i primi due addendi
e
-INVESTIMENTO tra il terzo e quarto addendo otteniamo:
EV = Pfold*POT + (1 - Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL) - INVESTIMENTO*(1 - Equity))
da cui
EV = Pfold*POT + (1 - Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL) - (1-Equity)*INVESTIMENTO)
Che rappresenta ancora una volta la nostra equazione (**)
Operando la sostituzione anche nell'ultima formula 3. otterremo:
EV = Pfold*POT + (1-Pfold)*(Equity*(POT + OPPO_CALL + INVESTIMENTO) - INVESTIMENTO)
In questo ultimo caso non occorre sviluppare i calcoli in quanto è immediato verificare che ci siamo ricondotti a (***) che abbiamo già dimostrato essere uguale a (**)
Nel momento stesso in cui mi accingo a pubblicare questo contenuto un atroce dubbio mi assale:
A chi mai potrà interessare questa dissertazione lunga e tediosa sulle modalità di derivazione e di calcolo del valore atteso?
Ma poi, dentro di me odo una vocina che mi dice "Fra, ciai messo un fracco di tempo pe' scrivere ste vaccate e mo che fai non le pubblichi?" (Fra è il diminutivo di Francesco, il mio Io, benché volgare e sgrammaticato, si rivolge a me sempre con diminutivi, vezzeggiativi o amenità di questo genere...)
Mi ha convinto.
)
che buo!... 
)
è veramente così tanto tempo che non studio ? 
)
