Küsten sind unendlich lang
“Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise und Rinde ist nicht glatt, so wie auch der Blitz nicht auf einer Geraden unterwegs ist” – Benoit B. Mandelbrot
Heute gibt’s mein erstes Update zu Fraktalen. Dabei geht es ganz konkret um die Schwierigkeit einer Küste eine Länge zuzuordnen.
Wie lang ist die Küste zwischen den beiden roten Kreuzen? Dank Google Earth kann ich heute am Schreibtisch zum Landvermesser werden.
12,51km
Da ich wirklich den Plan habe diese Küste abzulaufen, schaue mir das Ganze nochmal etwas mehr im Detail an und vermesse die Küste dann erneut.
12,99km
480m mehr als bei meiner letzten Messung. Ich gehe hier besser auf Nummer sicher und zoome ein weiteres Mal heran und vermesse die Küste anschließend erneut.
Wow! 13.5km!
Ich hab bereits einen Kilometer gegenüber der ersten Messung hinzugewonnen. Also die 3/4 Stunde muss jetzt investiert werden, um da nochmal ganz genau nachzumessen und noch näher hinzuschauen.
15.43km!!
Die Küste wird immer länger und die Gesamtlänge scheint bislang nicht gegen einen Grenzwert zu konvergieren.
Küsten haben in der Tat eine fraktale Struktur und es gibt keinen Grenzwert für ihre Länge! Wenn man näher heranzoomt, dann sieht die Küste zwar anders aus, aber die Komplexität bleibt gleich. Komplexität ist hier das statistische Verhältnis von Buchten zu geraden Abschnitten und “Buckeln”. Aus einer geraden Line auf einer beliebigen Skala wird also stets eine neue “richtige Küste” mit Buchten und Buckeln, wenn man die Skala genug verändert und heranzoomt.
Die korrekte Antwort auf die Frage “Wie lang ist eine Küste?” ist eigentlich eine Funktion L(s), die die Länge abhängig von der Messgenauigkeit (Schrittlänge) s angibt. Benoit Mandelbrot hat überdies rausgefunden, dass Küsten eine “fraktale Dimension” haben, welche angibt wie verwinkelt die Natur einer bestimmten Küste ist.
Illustration aus The Fractal Geometry of Nature, © 1982 Benoit Mandelbrot. Auf der x-Achse findet sich die Messgenauigkeit und auf der y-Achse findet sich die Länge der Küste. Man sieht, dass L'(s) von Küste zu Küste variiert.
n der Praxis ist “unendlich” natürlich keine sehr gute Antwort. Menschen sind wohl kaum daran interessiert, wie lang eine Küsten mit einer Schrittlänge von <1m ist, da wir viel zu klobig sind und zudem im Zweifel doch lieber dem geraden Wanderweg etwas neben der Küste folgen.
Ich mag die philosophische Bedeutung dieser Erkenntnis. Wir nehmen die Welt in unseren Größenordnungen Meter, Sekunde und Kilogramm wahr, aber das ist nur eine von vielen möglichen Perspektiven auf die Welt.
Falls wirklich irgendwer bis hierhin gelesen hat, der kann jetzt ein Bisschen hier herumspielen: Scale of the universe
Bis zum nächsten Mal!
Arne “KTU”
